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uando en el siglo xlx el análisis adquirió cierto
auge, comenzó a ocuparse de problemas profundos y difíciles. Se sintió entonces
necesitado de una base sistemática y cuidadosamente razonada en la que
apoyarse. Estas necesidades del análisis son el origen de la moderna teoría de
conjuntos, que Cantor desarrolló como una rama autónoma de las matemáticas.
Sobre
la base de estas ideas se abrió un nuevo capítulo de análisis, el de llamada
teoría de las funciones de variable real; pero además, las ideas generales de
la Teoría de conjuntos penetraron en todas las ramas de la matemática, dando
lugar a una nueva etapa en el desarrollo de ésta.
CONJUNTOS
Noción de conjunto
En
matemática, se dice que un concepto es primario cuando no es posible definirlo
utilizando otros más sencillos. Así si se tratase de definir el concepto de conjunto se diría que es una agrupación
cualquiera de objetos, o una colección, o una reunión…; sin embargo, los
términos <<agrupación>>,
<<colección>> o <<reunión>> conceptos
primarios.
Forman un conjunto por ejemplo:
Los objetos que hay
sobre la mesa de trabajo.
Los nombres de los
días de la semana.
Los discos de una
discoteca.
Los jugadores de un equipo
de fútbol.
Elementos de un conjunto
Cada
uno de los objetos que forman parte de un conjunto se llama elemento de dicho conjunto.
Ejemplos:
→ A es un elemento del
conjunto formado por las letras vocales
→ el purgar es un
elemento del conjunto de los dedos de la mano derecha
Generalmente, para simbolizar un conjunto se
utilizan las letras mayúsculas y para simbolizar un elemento, letras
minúsculas.
Pertenecia
Cuando es un elemento forma parte de un
conjunto, se dice que pertenece (£) al conjunto y, en caso contrario, que no
pertenece (Ɇ).
g £ G se lee << g pertenece a G>>
h Ɇ G se lee <<h
no pertenece a G>>
Definición de conjunto
Un
conjunto se dice que está bien definido cuando se puede determinar, sin ningún
error, cuáles son los elementos que lo forman.
Un
conjunto puede definirse de dos maneras por extensión y por compresión.
A)
Por extensión: nombrado todo y cada uno de los
elementos que lo forman. Para escribirlo, se encierra los elementos entre
llaves y separados por coma:
Ejemplo:
V= {a, e, i, o, u}
y se
lee << V es el conjunto formado por la letras a, e, i, o, u>>.
B)
Por compresión : Nombrando
una propiedad que cumplan todos los elementos del conjunto y sólo ellas.
Propiedad característica de un conjunto
A la
propiedad que define un conjunto se llama propiedad características del
conjunto.
El
conjunto del ejemplo anterior, definido por compresión, se escribe:
V = {x / x es letra
vocal}
y se
lee: << V es el conjunto de los elementos x, tal que x es letra
vocal>>
El
símbolo / se lee <<tal que>>.
En
general, si p es la propiedad característica de un conjunto A, se escribe
A = {× / × posee o cumple
la propiedad p} o bien,
A = {elementos que
cumplen la propiedad p}
Ejemplos:
1.
El
conjunto de personas que viven en una ciudad H se define por compresión:
A = {×/ × = persona que vive en la
ciudad H} =
= {personas que viven en la
ciudad H}
Para
definirlos por extensión sería necesario nombrar a todas las personas que viven
en la ciudad H, una por una, lo cual, obviamente, es complicado.
2.
El
conjunto formado por una pera, un bolígrafo y un canario, se define mejor por
extensión:
B = {pera, bolígrafo,
canario},
Pues
para definirlo por compresión sería necesario buscan los elementos que cumplan
los tres elementos y sólo ellos.
3.
El
conjunto de provincias que integran la
Comunidad Autónoma de Aragón puede definirse de las dos formas:
Extensión:
A = {Zaragoza, Huesca, Teruel}
Compresión:
A = {× / × es provincia de la Comunidad Autónoma de Aragón}
A
veces un conjunto con muchos elementos se expresa por extensión citando sólo
algunos de ellos y sustituyendo al resto por puntos suspensivos (llamado
elipsis) indicando que hay más elementos y que siguen las normas de los
anteriores.
Ejemplos:
1.
El
conjunto de los números pares se puede expresar:
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}
2.
El
conjunto de los números impares menores que 100 se podría escribir así:
I = {1, 3, 5, 7,..., 97, 99}
Conjunto unitario
Los
conjuntos que tienen un solo elemento se llaman conjunto unitario.
Así,
el conjunto T de los satélites naturales de la Tierra es un conjunto unitario
porque solo tiene un elemento: la Luna.
Cardinal de un conjunto
En
un conjunto cualquiera A, se llama cardinal del conjunto al número de sus
elementos.
El
cardinal del conjunto I de
países que integran la península ibérica es un conjunto binario porque tiene
dos elementos, España y Portugal:
Conjunto vacío
Si
un conjunto no tiene ningún elemento se llama conjunto vacío.
Por
ejemplo, el conjunto M de meses que en 1988 tuvieron sólo 28 días es un
conjunto vacío, porque 1988 fue un año bisiesro.
El
conjunto esta vacio se representa por { } o por Ø.
Conjuntos finitos e infinitos
Un
conjunto es finito (tiene fin) si sus elementos se pueden contar.
El
conjunto A = {a, e, i, o, u} es finito
Un
conjunto es infinito (no tiene fin) si sus elementos no se pueden contar.
El
conjunto de los números pares, el de los números naturales, el de los números
enteros, el de los números racionales, son todos conjuntos infinitos.
Representación grafica de un conjunto
Para
representar conjuntos se utilizan los diagramas Venn. Los elementos se
representan por puntos o cruces y alrededor ellos se traza una línea cerrada.
Los elementos que están dentro de la línea pertenece al conjunto y los que
pertenecen al conjunto.
Cuantificadores
a)
Cuantificador
existencial: se
utiliza para expresar la existencia de al menos un elemento que cumple una
condición o propiedad.
Se
representa por símbolo Ǝ, y se lee <<existe al menos>>.
Así,
para que en el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}, existen elementos que
son pares, se escribiría
Ǝ × £ A / × = 2 (2 representa a los
múltiplos de 2).
Y se
lee <<existe al menos un elemento x que pertenece a A tal que × es múltiplo
de 2>>
b)
Cuantificador universal:
se utiliza para expresar que
una propiedad o condición es cierta para todo elemento del conjunto.
Se
representa por el símbolo Ɐ, y se lee << para todo>> o
<<cualquiera que sea>>.
En
el ejemplo anterior, todos los elementos de A son números naturales. Se escribiría
así:
Ɐ × £ A, × £ N
y se
lee, <<para todo elemento × que pertenece a A, × es elemento de N
(conjunto de los números naturales)>>.
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